Zimmerman oparł się na teorii Winklera przyjmując, że szyna kolejowa ułożona na dużej liczbie podpór może być w przybliżeniu traktowana jak belka ciągła na podłożu sprężystym.
Dla takiego założenia niezbędnym jest określenie szerokości tej belki. Wprowadzono więc pojęcie szerokości zastępczej b_L . Nieciągłe podparcie na podkładach należy zamienić na podparcie ciągłe o takim samym polu powierzchni jak suma pól podparcia podkładów, na których opiera się szyna. Szerokość zastępczą obliczamy w następujący sposób:

gdzie:

l-s_o - długość podparcia podkładu pod szyną [m]

l - długość podkładu [m]

s_o - odległość między osiami szyn [m]

b - szerokość spodu podkładu [m]

a - rozstaw podkładów [m]

 

Zajmiemy się jednym tokiem szynowym przyjmując, że w torze prostym oba toki szynowe są jednakowo obciążone.
Wyjątkiem jest tor na łuku poziomym, gdzie w zależności od wartości niezrównoważonego przyspieszenia może wzrastać obciążenie na jeden a toków szynowych o

gdzie:

m - masa pojazdu [kg]

u - odległość środka ciężkości pojazdu od płaszczyzny szyn [m]

s - rozstaw szyn [m]

a - niezrównoważone przyspieszenie odśrodkowe lub dośrodkowe [m/s²] obliczane zgodnie ze wzorem

v - prędkość liniowa pojazdu [m/s]

R - promień łuki [m]

g - przyspieszenie ziemskie g=9,81 [m/s²]

h - przechyłka na łuku [m]

 

Wykorzystanie teorii Zimmermana prowadzi do określenia ugięć szyny i momentów występujących w jej stopce a także do określenie wartości sił poprzecznych przekazywanych przez szynę na podkład a następnie na podtorze i wielkości naprężeń, jakie występują w szynie.

Zamiast współczynnika k występującego w opisie podłoża sprężystego Winklera w teorii Zimmermana wprowadzono podobny parametr C, zwany współczynnikiem podłoża, który rozumiany jest jako wpływ podkładki, podkładu, podsypki i podłoża. Współczynnik ten to tangens kąta nachylenia krzywej ugięcie/nacisk, co przedstawia poniższy wzór i rysunek.

p - nacisk powierzchniowy [N/m² ]

y - ugięcie sprężyste [m]

C - współczynnik podłoża [N/m³]

Współczynnik podłoża C w zależności od rodzaju gruntu i podsypki oraz pory roku przyjmuje wartości

C = 20·10^-3 N/mm³; dla bardzo złego podłoża

C = 50·10^-3 N/mm³; dla złego podłoża

C = 100·10^-3 N/mm³; dla dobrego podłoża

Pierwszym krokiem przy rozwiązywaniu zagadnienia będzie obliczenie długości zastępczej L. Jej fizyczny sens ilustruje rysunek. Jest to połowa długości fali ugięcia szyny pod kołem pojazdu.

Obliczamy ją zgodnie ze wzorem:

E - moduł sprężystości stali szynowej = 21·10⁴ N/mm² [N/m2]

I - moment bezwładności szyny względem poziomej osi obojętnej [m⁴]

b_L - szerokość zastępcza belki obliczona jak wyżej [m]

C - współczynnik podłoża [N/m³ ]

 

Jednocześnie wielkość L określa nam zasięg działania nacisku pojazdu. Jeżeli punkt, w którym obliczamy ugięcia lub momenty znajduje się w odległości mniejszej niż L od punktu przyłożenia siły pionowej, powstałej pod wpływem pojazdu, to należy uwzględnić jej wpływ. Jeśli odległość między siłą a tym punktem jest większa od L, wpływ siły jest na tyle mały, że można go pominąć. Jeżeli więc kolejne koła pojazdu oddalone są na odległość większą niż 2L, to przy obliczeniach nie dokonujemy superpozycji sił.

 

Do znalezienia ugięć toku szynowego i momentów panujących w szynie niezbędne będą nam linie wpływu ugięć i momentów. Zagadnienie ilustruje rysunek.

Wychodzimy z równania osi odkształconej podobnie jak w przypadku teorii Winklera.

 

 

gdzie

 

Dla ułatwienia obliczeń wprowadzone zostało pojęcie współrzędnej bezwymiarowej ksi. Wartość tę oblicza się na podstawie wzoru:

Wyrażenie eta jest funkcją linii wpływu ugięć, którą wykorzystamy przy obliczaniu ugięcia szyny i siły działającej na jeden podkład.

 

Podobnie do obliczenia wartości momentów wykorzystuje się funkcję linii wpływu momentów.

 

gdzie

 

Jest to funkcja linii wpływu momentów, którą podobnie jak linie wpływu ugięć, wykorzystamy przy obliczaniu momentu występującego w stopce szyny nad podkładem.

 

Wykresy funkcji eta i mi przedstawia rysunek.

 

Należy wspomnieć jeszcze o współczynniku uwzględniającym dynamiczną pracę szyn, podkładów i gruntu podtorza. Obliczany jest on zgodnie z normami stosowanymi na PKP, co wyrażają poniższe wzory.

dla v>100 km/h

k_v=1+v2/30000

dla 200>v>100 km/h

k_v=1+4,5v²/10⁵-1,5v³/10⁷

dla v>200 km/h

k_v=1,6

gdzie:

v - prędkość pojazdu [m/s]

k_v - współczynnik dynamiczny

 

Można teraz przystąpić do obliczenia ugięcia szyny i momentu panującego w stopce szyny. Oblicza się je zgodnie z następującymi wzorami:

ugięcie

momenty

gdzie:

k_v - współczynnik dynamiczny obliczony jak wyżej

suma y - suma sił przypadających na podkład obliczona na podstawie linii wpływu eta [N]

suma M - suma momentów przypadająca na szynę nad podkładem obliczona na podstawie linii wpływu mi [Nm]

L - długość zastępcza [m]

b_L - szerokość zastępcza [m]

C - współczynnik podłoża [N/m3]

 

Na tej podstawie obliczając ugięcia kolejnych podkładów i momenty panujące w stopce szyny nad podkładami, można sporządzić wykresy ugięć i momentów oraz znaleźć ich maksymalne wartości.

 

Profesor Eisenmann z Uniwersytetu Technicznego w Monachium wprowadził modyfikację teorii Zimmermana. Założył, że wartości ugięć i momentów otrzymywane na podstawie tej teorii są wartościami średnimi. Wartości maksymalne uzależnił od następujących czynników:>

* współczynnika s zależnego od stanu nawierzchni:

- dla bardzo dobrego stanu nawierzchni s=0,1 fi

- dla dobrego stanu nawierzchni s=0,2 fi

- dla złego stanu nawierzchni s=0,3 fi

Parametr fi uzależniony jest od prędkości ruchu pojazdów

- dla v<60 km/h            fi =1

- dla 60<v<200 km/h     fi =1+(v-60)/140

* współczynnika t zależnego od prawdopodobieństwa p z jakim obliczane są wartości momentów i ugięć

- dla p=68,3%   t=1

- dla p=95,4%   t=2

- dla p=99,7      t=3

Zagadnienie to ilustruje rysunek.

 

Wartość maksymalną oblicza się na podstawie wartości średniej, obliczonej zgodnie z teorią Zimmermana następująco (rysunek)

wartość maksymalna=wartość średnia*(1+t*s)

 

 

    [N/mm²]

gdzie

 - naprężenia w stopce szyny od obciążenia pojazdem,

 - naprężenia w szynie od zmian temperatury,

 - naprężenia własne z procesu walcowania i sorbityzacji szyn.

 

 

Naprężenia w stopce szyny od obciążenia pojazdem

 

        [N/mm²]

gdzie

 - naprężenia w stopce szyny przy zginaniu, [N/mm²]

M - moment zginający w szynie, [Nm]

W_x - wskaźnik wytrzymałości przekroju poprzecznego szyny, [mm³]

 

 

Naprężenia w szynie od zmian temperatury

 

            [N/mm²]

gdzie

 - naprężenia w stopce szyny od zmian temperatury, [N/mm²]

 - współczynnik rozszerzalności cieplnej dla stali , [1/°C]

 - różnica temperatur maksymalnej (60°C) i temperatury przytwierdzenia szyn t_p, [°C]

   E - moduł sprężystości stali szynowej, E = 21·10⁴ N/mm²

 

 

Naprężenia własne w szynie

 

Przyjmuje się jako wartość stałą

 

Określić maksymalny moment zginający i naprężenie w stopce oraz największe ugięcie szyny obciążonej zestawem kołowym.

 

Dane są:

obciążenie od kół P₁ = 100 kN; P₂ = 120 kN

odległość między kołami l_k = 2,5 m

współczynnik podłoża C = 100·10^-3 N/mm³

szyna typu S54, I = 2073·10⁴ mm⁴; E = 21·10⁴ N/mm²; wskaźnik wytrzymałości W_x =

rozstaw podkładów a = 0,63 m

szerokość spodu podkładu b = 0,26 m; długość podkładu l = 2,50 m

 

Obliczenie długości podparcia podkładu [m]

 

l_p = l - s = 2,50 - 1,50 = 1,0 m

s - odległość między osiami szyn równa 1500 mm = 1,5 m

 

Obliczenie szerokości zastępczej podkładu [m]

 

 

Obliczenie długości belki zastępczej [mm]

 

 

Obliczenie wartości rzędnych linii wpływu momentów i ugięć

           

dla x = 0 a stąd ;        (patrz wykres linii wpływu i tabelka)

dla x = l_k = 2,5 m  a stąd np. wg tabeli wartości linii wpływu

 

ξ	μ	η
3,1	-0,04688	-0,04314
3,11	-0,04602	-0,04313
3,2	-0,03831	-0,04307

 

Obliczenie momentów i ugięć w przekrojach przyłożenia obciążenia

 

;               

 

 

 

Przekrój 1

 

 

M₁ = L/4 (P₁·μ₁ + P₂·μ₂) = 0,804·0,25 (100·1,0 + 120·(-0,04602)) = 18,990 kNm

 

 

y₁ = 1,4 mm

 

 

Przekrój 2

 

M₂ = L/4 (P₁·μ₁ + P₂·μ₂) = 0,804·0,25 (100·(-0,04602) + 120·1,0) = 23,195 kNm

 

 

y₂ = 1,7 mm

 

 

Idź do rozdziału: Elementy nawierzchni - Teoria Zimmermana - Naprężenia w szynie - Przykład - Literatura

 

 

w przygotowaniu